Друкувати книгуДрукувати книгу

06.04. Координати вектора. Дії над векторами, які задано координатами.

Сайт: Дистанційне навчання в школі
Курс: Віртуальна лабораторія Ахманова Ю.О. Математика
Книга: 06.04. Координати вектора. Дії над векторами, які задано координатами.
Надруковано: Гість-користувач
Дата: неділя 24 листопада 2024 15:59 PM

Зміст

1. Координати вектора. Дії над векторами, які задано координатами.

Координати вектора у просторі. Рівність векторів, заданих координатами. Модуль вектора.

 

Якщо у просторі ввести систему координат, то кожний вектор можна задати трійкою чисел - координатами вектора у просторі.

Координатами вектора  з початком А(х1; у1; z1) і кінцем В(х2; у2; z2) називають числа

х = х2 – х1; у = у2 – у1; z = z2 – z1.

Нагадаємо, що записують вектор , вказуючи його координати наступним чином  (х;у;z). Наприклад,  тощо.

Приклад 1. Знайти координати вектора , якщо А(-5; 2; -3), B(7; -1; 0).

Розв’язання.  (7 - (-5);-1 - 2;0 - (-3)) ,отже  (12;-3;3).

Координати вектора можуть бути будь-які дійсні числа. Всі координати нульового вектора дорівнюють нулю (0;0;0).

Як і на площині,

рівні вектори мають відповідно рівні координати, і навпаки: якщо у векторів відповідно рівні координати, то вектори рівні.

Приклад 2. Дано точки А(-1;3;4), В(0;5;-1), С(х;2;z), D(1;у;-2). Знайти х, у, z, якщо  = .

Розв’язання.

3) Оскільки  = , то маємо 1 - х = 1; у - 2 = 2; -2 - z = -5.

Отже, маємо х = 0; у = 4; z = 3.

Модуль вектора (х;у;z) дорівнює 

Приклад 3. Знайти модуль вектора: 

Розв’язання.

Приклад 4. Відомо, що модуль вектора (-4;у;) дорівнює 5. Знайти y.

Розв’язання. 

За умовою  

2. Дії над векторами, що задані координатами.

Так само, як і на площині означають дії над векторами і у просторі.

Сумою вектори  називають вектор 

Різницею векторів  є вектор

Приклад 1. Знайти координати вектора  якщо 

Розв’язання.

Добутком вектора (х,у,z) на число λ називають вектор 

Розглянуті означення і правила дій над векторами, що задані координатами, дозволяють знаходити координати будь-якого вектора, поданого у вигляді алгебраїчної суми даних векторів, координати яких відомі.

Приклад 2. Дано вектори  Знайти координати вектора 

Розв’язання. Запис розв’язання задачі зручно вести наступним чином:

3. Ознака колінеарності векторів.

Нехай задано  Якщо вектори колінеарні, то  (де λ ≠ 0 - число). Тому  Тоді (якщо х1 ≠ 0, y1 ≠ 0, z1 ≠ 0), маємо  тобто  - координати колінеарних векторів пропорційні.

Маємо ознаку колінеарності векторів.

Нехай задано вектори 

1) Якщо серед заданих координат обох векторів немає нулів, то вектори  і  колінеарні, якщо  (*), причому, якщо λ > 0, то  а якщо λ < 0, то 

2) Якщо одна з координат деякого вектора дорівнює нулю, то пропорцію (*) треба розуміти в тому сенсі, що відповідна координата другого вектора повинна також дорівнювати нулю.

Приклад 1. Визначити колінеарні чи ні вектори  і . Якщо відповідь позитивна, то вкажіть однаково чи протилежно напрямлені вектори  і :

Розв’язання. 

 - неколінеарні.

3) Ординати обох векторів дорівнюють нулю, перевіряємо пропорційність двох інших координат.

4) Абсциса вектора  дорівнює нулю, а абсциса вектора  не дорівнює нулю. Тому вектори неколінеарні.

Приклад 2. При яких значеннях у і z вектори  колінеарні?

Розв’язання. Маємо  Звідси у = -4, z = -6.

4. Переглянь відео