Взаємне розташування прямих у просторі

Тема уроку: Розміщення двох прямих у просторі. Прямі, що перетинаються. Паралельні та мимобіжні прямі. Ознака паралельності прямих.

Мета уроку: вивчення взаємного розташування двох прямих у просторі: прямі, що перетинаються; паралельні прямі; мимобіжні прямі. Формування понять: паралельні прямі, мимобіжні прямі.

Взаємне розміщення двох прямих у просторі

Із курсу планіметрії відомо, що дві прямі, які лежать у площині, можуть перетинатися або не мати спільних точок. Якщо дві прямі ле­жать в одній площині і не мають спільних точок, то вони називаються паралельними. У просторі дві різні прямі або перетинаються, або не пе­ретинаються. Проте другий випадок допускає дві можливості: прямі ле­жать в одній площині або прямі не лежать в одній площині.

Прямі, які не перетинаються і лежать в одній площині, називають паралельними, а дві прямі, які не перетинаються і не лежать в одній площині, називають мимобіжними.

Теорема про існування і єдиність прямої, яка проходить через дану точку і паралельна даній прямій

З аксіоми паралельності Евкліда випливає, що в площині через дану точку можна провести не більше однієї прямої, яка паралельна даній прямій. А скільки таких прямих можна провести у просторі?

Нехай дано пряму a і точку А, що не ле­жить на ній. Через них можна провести єдину площину  У цій площині можна провести єдину пряму b, яка паралельна пря­мій α (рис. 33).

Отже, у просторі через дану точку А мож­на провести єдину пряму, паралельну даній прямій а.

Таким чином, справедлива теорема:

Через будь-яку точку простору, яка не лежить на даній прямій, можна провести пряму, паралельну даній, і тіль­ки одну.

Виконання вправ

1. Користуючись зображенням куба ABCDA1B1C1D1 (рис. 34), вкажіть пряму, яка проходить через точку А1 і паралельна прямій: a) AD; б) АВ; в) АС.

2. Скільки прямих, паралельних даній прямій а, можна провести через точку А, що належить прямій а?

Ознака паралельності прямих

Як довести паралельність двох прямих на площині? Можна скористати­ся означенням або ознаками паралельності, тобто теоремами, які дають до­статні умови паралельності. Ви вивчали три ознаки паралельності прямих на площині: за рівністю між собою внутрішніх різносторонніх кутів між двома прямими і січною, за рівністю суми внутрішніх односторонніх кутів 180°, а також теорему, що дві прямі, які паралельні третій, паралельні між собою. Перші дві ознаки паралельності не мають аналогів для прямих у просторі. Остання ознака справедлива і в стереометрії. Сформулюємо її.

Теорема.

Дві прямі, паралельні третій прямій, паралельні між собою.

Доведення

Нехай baса. Доведемо, що bс .

Прямі bісне можуть перетинатися. Інакше через точку їх перетину проходили б дві різні прямі, паралельні прямійа, що суперечило б тео­ремі 2.1.

Припустимо, що прямі b і с — мимобіжні (рис. 36). Через паралель­ні прямі b і ас і a проведемо площи­ни γ і β, а через пряму b і точку С прямої с — площину α. Нехай площини α і β перетинаються по пря­мій c1. Прямі асc1 лежать в одній площині β , причому са. Тому пря­ма с1, яка перетинає с, перетинає пря­му a в деякій точці А. Прямі c1 і а лежать відповідно у площинах α і γ , тому їх спільна точка А належить цим площинам, а отже, і їх спільній пря­мій b. З припущення випливає, що паралельні прямі a і b мають спільну точку А, що суперечить умові.

Отже, прямі b і с не можуть ні перетинатися, ні бути мимобіжни­ми. Таким чином, bс .

Виконання вправ

1. Дано зображення куба ABCDA1B1C1D1.(рис 32) Доведіть, що;

а) АА1 || СС1; б) АВ || C1D1; в) AC || А1С1.

2. Чи правильне твердження: якщо прямі b і с не паралельні одній і тій самій прямій а, то b і с не паралельні між собою?

3. ABCDA1B1C1D1 — паралелепіпед. Доведіть, що площина АСС1 про­ходить через точку А,.

4. Прямі а і b паралельні, а прямі b і с не паралельні. Доведіть, що прямі а і с не паралельні.

Виконання вправ

  1. Різні випадки розташування двох прямих у просторі продемонст­руйте на предметах оточення.

  2. Дано зображення куба ABCDA1B1C1D1 (рис. 32).

а) Чи перетинаються прямі АА1 і ВВ1? А1В1 і D1C1? Як назива­ються ці прямі?

б) Чи перетинаються прямі AD і ВВ1? АВ і DD1? Як називаються ці прямі?

в) Чи можна провести площину через пря­мі AD і DB1? A1D1 і C1D1? AD і ВВ1? АА1 і DВ1 ? АА1 і DD1 ?

  1. Як розташовані осі залізничних вагонів між собою; відносно рейок?

  2. Як треба розуміти, що прямі а і b у просто­рі не паралельні?

  3. Що можна сказати про прямі а і b, якщо ві­домо, що вони не мимобіжні?

Розв'язування вправ

  1. Прямі АВ і CD паралельні. Чи можуть бути мимобіжними прямі АС і BD? А перетинатися?

  2. Прямі АВ і CD мимобіжні. Чи можуть бути прямі АС і BD парале­льними? А перетинатися?

Остання зміна: субота 28 жовтень 2017 23:21