Взаємне розташування прямих у просторі
Тема уроку: Розміщення двох прямих у просторі. Прямі, що перетинаються. Паралельні та мимобіжні прямі. Ознака паралельності прямих.
Мета уроку: вивчення взаємного розташування двох прямих у просторі: прямі, що перетинаються; паралельні прямі; мимобіжні прямі. Формування понять: паралельні прямі, мимобіжні прямі.
Взаємне розміщення двох прямих у просторі
Із курсу планіметрії відомо, що дві прямі, які лежать у площині, можуть перетинатися або не мати спільних точок. Якщо дві прямі лежать в одній площині і не мають спільних точок, то вони називаються паралельними. У просторі дві різні прямі або перетинаються, або не перетинаються. Проте другий випадок допускає дві можливості: прямі лежать в одній площині або прямі не лежать в одній площині.
Прямі, які не перетинаються і лежать в одній площині, називають паралельними, а дві прямі, які не перетинаються і не лежать в одній площині, називають мимобіжними.

Теорема про існування і єдиність прямої, яка проходить через дану точку і паралельна даній прямій
З аксіоми паралельності Евкліда випливає, що в площині через дану точку можна провести не більше однієї прямої, яка паралельна даній прямій. А скільки таких прямих можна провести у просторі?

Нехай дано пряму a і точку А, що не лежить на ній. Через них можна провести єдину площину У цій площині можна провести єдину пряму b, яка паралельна прямій α (рис. 33).
Отже, у просторі через дану точку А можна провести єдину пряму, паралельну даній прямій а.
Таким чином, справедлива теорема:
Через будь-яку точку простору, яка не лежить на даній прямій, можна провести пряму, паралельну даній, і тільки одну.
Виконання вправ
1. Користуючись зображенням куба ABCDA1B1C1D1 (рис. 34), вкажіть пряму, яка проходить через точку А1 і паралельна прямій: a) AD; б) АВ; в) АС.
2. Скільки прямих, паралельних даній прямій а, можна провести через точку А, що належить прямій а?
Ознака паралельності прямих
Як довести паралельність двох прямих на площині? Можна скористатися означенням або ознаками паралельності, тобто теоремами, які дають достатні умови паралельності. Ви вивчали три ознаки паралельності прямих на площині: за рівністю між собою внутрішніх різносторонніх кутів між двома прямими і січною, за рівністю суми внутрішніх односторонніх кутів 180°, а також теорему, що дві прямі, які паралельні третій, паралельні між собою. Перші дві ознаки паралельності не мають аналогів для прямих у просторі. Остання ознака справедлива і в стереометрії. Сформулюємо її.
Теорема.
Дві прямі, паралельні третій прямій, паралельні між собою.
Доведення
Нехай b║a, с║а. Доведемо, що b║с .
Прямі bісне можуть перетинатися. Інакше через точку їх перетину проходили б дві різні прямі, паралельні прямійа, що суперечило б теоремі 2.1.
Припустимо, що прямі b і с — мимобіжні (рис. 36). Через паралельні прямі b і а, с і a проведемо площини γ і β, а через пряму b і точку С прямої с — площину α. Нехай площини α і β перетинаються по прямій c1. Прямі а, с, c1 лежать в одній площині β , причому с║а. Тому пряма с1, яка перетинає с, перетинає пряму a в деякій точці А. Прямі c1 і а лежать відповідно у площинах α і γ , тому їх спільна точка А належить цим площинам, а отже, і їх спільній прямій b. З припущення випливає, що паралельні прямі a і b мають спільну точку А, що суперечить умові.
Отже, прямі b і с не можуть ні перетинатися, ні бути мимобіжними. Таким чином, b║с .
Виконання вправ
1. Дано зображення куба ABCDA1B1C1D1.(рис 32) Доведіть, що;
а) АА1 || СС1; б) АВ || C1D1; в) AC || А1С1.
2. Чи правильне твердження: якщо прямі b і с не паралельні одній і тій самій прямій а, то b і с не паралельні між собою?
3. ABCDA1B1C1D1 — паралелепіпед. Доведіть, що площина АСС1 проходить через точку А,.
4. Прямі а і b паралельні, а прямі b і с не паралельні. Доведіть, що прямі а і с не паралельні.
Виконання вправ
-
Різні випадки розташування двох прямих у просторі продемонструйте на предметах оточення.
-
Дано зображення куба ABCDA1B1C1D1 (рис. 32).
а) Чи перетинаються прямі АА1 і ВВ1? А1В1 і D1C1? Як називаються ці прямі?
б) Чи перетинаються прямі AD і ВВ1? АВ і DD1? Як називаються ці прямі?
в) Чи можна провести площину через прямі AD і DB1? A1D1 і C1D1? AD і ВВ1? АА1 і DВ1 ? АА1 і DD1 ?
-
Як розташовані осі залізничних вагонів між собою; відносно рейок?
-
Як треба розуміти, що прямі а і b у просторі не паралельні?
-
Що можна сказати про прямі а і b, якщо відомо, що вони не мимобіжні?
Розв'язування вправ
-
Прямі АВ і CD паралельні. Чи можуть бути мимобіжними прямі АС і BD? А перетинатися?
-
Прямі АВ і CD мимобіжні. Чи можуть бути прямі АС і BD паралельними? А перетинатися?