Перпендикуляр та похила. Теорема про три перпендикуляра.

Перпендикуляр і похила. Теорема про три перпендикуляра.

  Завдання

1. Перпендикуляром, проведеним з даної точки до прямої, називається ...

     2. Похилою, проведеною з даної точки до прямої, називається ...

     3. Проекцією похилої називається ...

     4. Рівні похилі мають ...

     5. Більша похила має ...

     6. З двох похилих більша та, у якої ...

Варіанти відповідей

     а) ... відрізок, що сполучає основи перпендикуляра і похилої, проведених з однієї і тієї самої точки.

     б) .... будь-який відрізок, який сполучає дану точку з  точкою прямої і не є перпендикуляром до площини.

     в) ... проекція більша.

     г) ... більшу проекцію.

     д) ... відрізок, що сполучає дану точку з точкою прямої і лежить на прямій, перпендикулярній до площини.

     е) ... рівні проекції.

 

                                       

                                      

Поняття перпендикуляра до площини, похилої, проекції похилої на площину

А  α, О  α, АО – перпендикуляр з точки А до площини α. АВ – похила; ОВ – проекція; точка О – основа перпендикуляра; точка В – основа похилої (рис. 1)

 

                                                                                             

 

                                                                                                       Рис. 1

                  Властивості перпендикуляра, похилих і проекцій

Якщо а = b, то c = d;                                       Якщо а > b, то c > d;

якщо c = d, то a = b.                                        якщо c > d, то a > b.

     (рис. 2)                                                              (рис. 3)

                              

 

 

 

     

 

 

 

                     Рис. 2                                                        Рис. 3

 

 

Геометричним місцем точок основ рівних похилих, проведених з однієї точки на площину,  є точка, яка є основою перпендикуляра проведеного з даної точки на площину і є центром кола описаного навколо многокутника, вершини якого є основами похилих, і рівновіддалена від вершин многокутника.

                                                                

 

                                                                                         Рис. 4

 

       Назвати перпендикуляр, похилу та проекцію похилої, якщо АСВ = 90º.

                

 

 

 

 

 

                                          

Рис. 5

 

        Задача 1. Джерело світла знаходиться в центрі стелі кімнати, що має форму прямокутного паралелепіпеда. Вказати точки на підлозі та на плінтусі (ребро DC), де освітлення буде максимальним.

 

 

                                                                     

                                                                                               Рис. 6

 

       Задача 2. Через вершину прямого кута С трикутника АВС проведено перпендикуляр  СD до його площини. Побудуйте найкоротшу відстань від точки D до гіпотенузи АВ.

 

 

                                                                     

            

                                                                                                Рис. 7

 

Розв'язуючи першу задачу, слід вказати дві точки О і Е, де освітлення буде максимальним (ОО1  (АВС), ОЕ  DC).

 

 

 

                                                                      

                                   

Рис. 8

 

У другій задачі найкоротшою буде відстань DE (DE  АВ).

 

 

 

                                                                              

 

 

                                                                                                   Рис. 9

 

         

Теорема про три перпендикуляри.

 

 

  

                Рис. 10                                                           Рис. 11

 

     Теорема. Якщо пряма, проведена на площині через основу похилої, перпендикулярна до її проекції,то вона перпендикулярна і до похилої.

        Доведення

(Доведення теореми проводимо разом з учнями класу)

Нехай АВ — перпендикуляр до площини α, АС — похила, ВС — її проекція на площину α. Пряма с в площині α, яка проходить через основу похилої АС, перпендикулярна до похилої АС (рис. 12).                             

Перш ніж довести, що пряма с перпендикулярна до прямої АС, треба довести, що пряма с перпендикулярна до площини, в якій лежить АС. А для того, щоб довести, що пряма с перпендикулярна до двох прямих, що перетинаються, які лежать в цій площині і проходять через точку С. Одна така пряма є на кресленні, це пряма ВС.

Проведемо пряму СА1, що паралельна прямій АВ (креслення доповнюється, стаючи рис. 13). Пряма СА1  буде перпендикулярна до площини  α за властивістю прямої і площини перпендикулярних між собою. Тоді за означенням прямої, перпендикулярної до площини, пряма  САбуде перпендикулярна до прямої с, яка лежить у площині   α.

 

 

               Рис.12                                       Рис.13

Проведемо через паралельні прямі СА1 і АВ площину β (креслення доповнюється, рис. 14). Пряма с перпендикулярна до двох прямих  ВС і  СА1, які лежать в  площині β і проходять через точку С. Тому за ознакою перпендикулярності прямої і площини, пряма с перпендикулярна до площини β, а значить, за означенням прямої, перпендикулярної до площини,  пряма с перпендикулярна і до прямої АС, що лежать в           

  Рис. 14       

площині  β і проходять через точку С.                                                             

Після цього пропонується учням сформулювати твердження, обернене доведеному.

Теорема. Якщо пряма, проведена через основу похилої на площині, перпендикулярна до похилої, то вона перпендикулярна і до проекції похилої.

 

                      

Задача. Дано ромб ABCD, О — точка перетину його діагоналей, СК – перпендикуляр до площини ромба. Доведіть, що BD (KOC).

Задача. Дано рівнобедрений трикутник АВС з основою АС. Через вершину В проведено перпендикуляр SB до площини трикутника. Доведіть, що SN  AC, де N – середина АС.

 

      Історична довідка.

     1. Аналітичний спосіб доведення теореми запропонував  Рене Декарт.

      2. Теорема про три перпендикуляри, яка має в наш час дуже велике значення, в “Началах” Евкліда не міститься. Вона була доведена математиками Ближнього і Середнього Сходу (XIII ст.): її доведення є в “Трактаті про повний чотиристоронник” Насір ад-Діна ат-Тусі і в тригонометричному трактаті його анонімного попередника. У Європі ця теорема була вперше сформульована Луї Бертраном (1731-1812) і доведена в “Елементах геометрії”

Лежандра (1794). Послідній її так сформулю-

вав: нехай пряма АР (Рис. 18) перпендикулярна до площини α, а точка Р – її основа і нехай ВС – довільна пряма цієї площини. Доведення Лежандра відтворено в підручнику Кісельова.                                                           

                                                                                                              

                                                                                     Рис. 18

      Питання

        1. Сформулюйте теорему про три перпендикуляри.

       2. Які теореми та означення використовуються для доведення теореми про три перпендикуляри?

       3. Що таке перпендикуляр і похила до площини? їхньої основи? проекція похилої?

       4. Як пов'язані між собою довжина перпендикуляра, похилої і її проекції?

 

Алгоритм знаходження відстані від точки, яка не належить  площині, до прямої, яка розташована в площині.

  1. Знайти перпендикуляр, проведений із даної точки до площини.
  2. Вказати похилу і її проекцію.
  3. Довести, що пряма перпендикулярна проекції похилої і, опираючись на теорему про три перпендикуляри, стверджувати , що пряма перпендикулярна похилій.
  4. Похила перпендикулярна до прямої, а це означає, що довжина похилої і є відстанню від точки до прямої.

 

     

 

Остання зміна: вівторок 19 грудень 2017 07:59