Перпендикуляр та похила. Теорема про три перпендикуляра.
Перпендикуляр і похила. Теорема про три перпендикуляра.
Завдання
1. Перпендикуляром, проведеним з даної точки до прямої, називається ...
2. Похилою, проведеною з даної точки до прямої, називається ...
3. Проекцією похилої називається ...
4. Рівні похилі мають ...
5. Більша похила має ...
6. З двох похилих більша та, у якої ...
Варіанти відповідей
а) ... відрізок, що сполучає основи перпендикуляра і похилої, проведених з однієї і тієї самої точки.
б) .... будь-який відрізок, який сполучає дану точку з точкою прямої і не є перпендикуляром до площини.
в) ... проекція більша.
г) ... більшу проекцію.
д) ... відрізок, що сполучає дану точку з точкою прямої і лежить на прямій, перпендикулярній до площини.
е) ... рівні проекції.
Поняття перпендикуляра до площини, похилої, проекції похилої на площину
А α, О α, АО – перпендикуляр з точки А до площини α. АВ – похила; ОВ – проекція; точка О – основа перпендикуляра; точка В – основа похилої (рис. 1)
Властивості перпендикуляра, похилих і проекцій
Якщо а = b, то c = d; Якщо а > b, то c > d;
якщо c = d, то a = b. якщо c > d, то a > b.
(рис. 2) (рис. 3)

Рис. 2 Рис. 3
Геометричним місцем точок основ рівних похилих, проведених з однієї точки на площину, є точка, яка є основою перпендикуляра проведеного з даної точки на площину і є центром кола описаного навколо многокутника, вершини якого є основами похилих, і рівновіддалена від вершин многокутника.

Рис. 4
Назвати перпендикуляр, похилу та проекцію похилої, якщо АСВ = 90º.

Рис. 5
Задача 1. Джерело світла знаходиться в центрі стелі кімнати, що має форму прямокутного паралелепіпеда. Вказати точки на підлозі та на плінтусі (ребро DC), де освітлення буде максимальним.

Рис. 6
Задача 2. Через вершину прямого кута С трикутника АВС проведено перпендикуляр СD до його площини. Побудуйте найкоротшу відстань від точки D до гіпотенузи АВ.

Рис. 7
Розв'язуючи першу задачу, слід вказати дві точки О і Е, де освітлення буде максимальним (ОО1 (АВС), ОЕ DC).
Рис. 8
У другій задачі найкоротшою буде відстань DE (DE АВ).

Рис. 9
Теорема про три перпендикуляри.


Рис. 10 Рис. 11
Теорема. Якщо пряма, проведена на площині через основу похилої, перпендикулярна до її проекції,то вона перпендикулярна і до похилої.
Доведення
(Доведення теореми проводимо разом з учнями класу)
Нехай АВ — перпендикуляр до площини α, АС — похила, ВС — її проекція на площину α. Пряма с в площині α, яка проходить через основу похилої АС, перпендикулярна до похилої АС (рис. 12).
Перш ніж довести, що пряма с перпендикулярна до прямої АС, треба довести, що пряма с перпендикулярна до площини, в якій лежить АС. А для того, щоб довести, що пряма с перпендикулярна до двох прямих, що перетинаються, які лежать в цій площині і проходять через точку С. Одна така пряма є на кресленні, це пряма ВС.
Проведемо пряму СА1, що паралельна прямій АВ (креслення доповнюється, стаючи рис. 13). Пряма СА1 буде перпендикулярна до площини α за властивістю прямої і площини перпендикулярних між собою. Тоді за означенням прямої, перпендикулярної до площини, пряма СА1 буде перпендикулярна до прямої с, яка лежить у площині α.


Рис.12 Рис.13
Проведемо через паралельні прямі СА1 і АВ площину β (креслення доповнюється, рис. 14). Пряма с перпендикулярна до двох прямих ВС і СА1, які лежать в площині β і проходять через точку С. Тому за ознакою перпендикулярності прямої і площини, пряма с перпендикулярна до площини β, а значить, за означенням прямої, перпендикулярної до площини, пряма с перпендикулярна і до прямої АС, що лежать в

Рис. 14
площині β і проходять через точку С.
Після цього пропонується учням сформулювати твердження, обернене доведеному.
Теорема. Якщо пряма, проведена через основу похилої на площині, перпендикулярна до похилої, то вона перпендикулярна і до проекції похилої.
Задача. Дано ромб ABCD, О — точка перетину його діагоналей, СК – перпендикуляр до площини ромба. Доведіть, що BD (KOC).
Задача. Дано рівнобедрений трикутник АВС з основою АС. Через вершину В проведено перпендикуляр SB до площини трикутника. Доведіть, що SN AC, де N – середина АС.
Історична довідка.
1. Аналітичний спосіб доведення теореми запропонував Рене Декарт.
2. Теорема про три перпендикуляри, яка має в наш час дуже велике значення, в “Началах” Евкліда не міститься. Вона була доведена математиками Ближнього і Середнього Сходу (XIII ст.): її доведення є в “Трактаті про повний чотиристоронник” Насір ад-Діна ат-Тусі і в тригонометричному трактаті його анонімного попередника. У Європі ця теорема була вперше сформульована Луї Бертраном (1731-1812) і доведена в “Елементах геометрії”
вав: нехай пряма АР (Рис. 18) перпендикулярна до площини α, а точка Р – її основа і нехай ВС – довільна пряма цієї площини. Доведення Лежандра відтворено в підручнику Кісельова.
Рис. 18
Питання
1. Сформулюйте теорему про три перпендикуляри.
2. Які теореми та означення використовуються для доведення теореми про три перпендикуляри?
3. Що таке перпендикуляр і похила до площини? їхньої основи? проекція похилої?
4. Як пов'язані між собою довжина перпендикуляра, похилої і її проекції?
Алгоритм знаходження відстані від точки, яка не належить площині, до прямої, яка розташована в площині.
- Знайти перпендикуляр, проведений із даної точки до площини.
- Вказати похилу і її проекцію.
- Довести, що пряма перпендикулярна проекції похилої і, опираючись на теорему про три перпендикуляри, стверджувати , що пряма перпендикулярна похилій.
- Похила перпендикулярна до прямої, а це означає, що довжина похилої і є відстанню від точки до прямої.