розв'язання задач з теми " Кути між прямими у просторі"
Кути між прямими і площинами у просторі.
Розв'язування задач.
Задача 1.
Дано куб ABCDA1B1C1D1. 
Вказати кут між прямою A1C і площиною DCC1.
Розв'язання: Кутом між площиною і прямою, яка перетинає площину і не є перпендикулярною до площини, називають кут між прямою і її проекцією на площину.
Оскільки проекцією прямої A1C на площину DCC1 (вона ж DD1C1) є відрізок CD1 (дивись задачу 35.5), то кут між прямою A1C і площиноюDCC1 є кут A1CD1.
Відповідь: ∠A1CD1 – В.
Задача 2.
Дано прямокутний паралелепіпед ABCDA1B1C1D1, у якогоABCD – квадрат зі стороною 1, а бічне ребро рівне кореню з трьохAA1=√3.

Чому дорівнює кут між площинами AA1B1 і A1B1C?
Розв'язання: Кут між площинами – лінійний кут двогранного кута (про це читайте детально теорію).
Маємо AA1⊥A1B1 і A1D⊥A1B1 (оскільки A1B1CD – прямокутник).
Тому кут між площинами AA1B1 і A1B1C – це кут між ребрами AA1 і A1D, тобто ∠AA1D – лінійний кут двогранного кута.
Знайдемо його величину. Розглянемо трикутник AA1D.
Оскільки ABCDA1B1C1D1 – прямокутний паралелепіпед, то пряма AA1 перпендикулярна до площини ABC, звідси AA1⊥AD, тому ΔAA1D – прямокутний. За умовою задачі:
AA1=√3 – катет, AD=1 – катет.
За означенням тангенса прямокутного трикутника знайдемо кут ∠AA1D: 
Арктангенс рівний 30 градусам.
Відповідь: 30 – А.
Задача 3.
Дано куб ABCDA1B1C1D1. 
Знайти кут між прямими AB1 і A1D.
Розв'язання: Кутом між (мимобіжними) прямими в просторі називають кут між прямими, які перетинаються і паралельні до мимобіжних прямих.
Паралельною проекцією прямої A1D є пряма B1C (оскільки ABCDA1B1C1D1 – куб, тому його протилежні грані рівні і паралельні).
Звідси, ∠AB1C – кут між прямими AB1 і A1D. Знайдемо його величину.
Аналогічно можна розглянути ∠A1DC1. Розглянемо трикутник AB1C.
Його сторонами є діагоналі граней куба ABCDA1B1C1D1.
У куба всі грані і ребра рівні, тому і діагоналі на його гранях є рівними.
Звідси, випливає, що трикутник AB1C – рівносторонній (у якого всі кути рівні).
Тому, за теоремою про суму кутів трикутника знаходимо шуканий
Відповідь: 60 – В.
Задача 4
На рисунку ABCD – прямокутна трапеція з прямим кутом B, точка M – середина сторони AD.
PB – перпендикуляр до площини ABC.
Визначити кут між площинами ABC і APD.
Розв'язання: Кут між площинами – лінійний кут двогранного кута.
Маємо PB⊥AB, оскільки за умовою задачі PB – перпендикуляр до площини ABC
(пряма, яка перпендикулярна до площини, перпендикулярна до кожної прямої, що належить цій площині);
AD⊥AB (оскільки ABCD – прямокутна трапеція з прямим кутом B і AD||BC).
За теоремою про три перпендикуляри маємо PA⊥AD.
Отже, ∠PAB – лінійний кут двогранного кута.
Це і є шуканий кут між площинами ABC і APD.
Відповідь: ∠PAB – Д.
Задача 5
Знайти кут між площинами, якщо точка, яка лежить на одній з них, віддалена від прямої перетину площин утричі далі, ніж від другої площини. 
Розв'язання: Маємо дві площини alpha і beta, які перетинаються по прямій a.

Нехай точка A належить площині . Відстань від точки до прямої перетину – перпендикуляр AK опущений з точки A на пряму a(тобто AK⊥a), де точка K – основа перпендикуляра AK.
Відстань від точки до площини – перпендикуляр AM опущений з точки A на площину beta (тобто AM⊥beta), де точка M – основа перпендикуляра AM, що належить площині beta.
За умовою задачі точка A, що належить площині alpha, віддалена від прямої перетину площин a утричі далі, ніж від площини beta, тобтоAK=3*AM.
Проведемо відрізок KM. Оскільки точка K належить прямій a перетину площин, то вона належить площині beta, точка M також належить площині beta.
Звідси слідує, що відрізок KM належить площині beta. Так як AM⊥beta, то AM⊥KM (пряма, яка перпендикулярна до площини, перпендикулярна до кожної прямої, що належить цій площині).
Отже, ∠AKM – лінійний кут двогранного кута, тобто кут між площинами alpha і beta, який треба знайти.
Розглянемо трикутник AKM. Оскільки AM⊥KM, то ΔAKM – прямокутний (∠AMK=90), де AM – протилежний катет до ∠AKM іAK=3*AM – гіпотенуза.
За означенням синуса прямокутного трикутника знайдемо ∠AKM:
Відповідь: arcsin(1/3) – В.
Задача 6.
Відрізок завдовжки 10 м перетинає площину, його кінці розміщені на відстані 2 м і 3 м від площини. Знайти кут між даним відрізком і площиною.
Розв'язання: Нехай маємо відрізок BD=10 м, що перетинає площину alpha в точці O.

З точки B опустимо перпендикуляр AB=3 м – відстань від точки B до площини alpha, точка A належить площині alpha. З точки Dопустимо перпендикуляр CD=2 м – відстань від точки D до площини alpha, точка D належить площині alpha.
Проведемо відрізок AC, який належить площині alpha. Відрізок AC перетинає відрізок BD в точці O (так як через пряму і точку, що не лежить на ній можна провести площину).
В нашому випадку, через пряму AC і точку B можна провести площину (наприклад hamma), в якій міститься пряма BD. Саме в площиніhamma прямі AC і BD перетинаються в точці O (на рис. площини hamma немає, це треба уявити, чому саме прямі AC і BD перетинаються в точці O, тут тільки розписано пояснення).
Розглянемо два трикутники AOB і COD. У них AB||CD, оскільки це перпендикуляри опущені з кінців відрізка BD на площину alpha, томуAB⊥AC і CD⊥AC. Звідси маємо:
∠AOB=COD як вертикальні;
∠OAB=∠OCD=90 прямі кути;
∠ABO=CDO як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих AB, CD і січній BD.
Отже, трикутники AOB і COD подібні за трьома кутами. У подібних трикутників відповідні сторони пропорційні. Маємо 
тобто
звідси отримаємо OB=3*OD/2.
З іншої сторони,
BD=OB+OD=10 м,
3*OD/2+OD=10,
5/2*OD=10,
отримаємо
OD=4 м і OB=6 м.
Розглянемо прямокутний трикутник AOB (∠OAB=90). Оскільки AB⊥AO і відрізок AO належить площині alpha, то OB=6 м – похила (гіпотенуза ΔAOB), а відрізок AO – проекція похилої на площину alpha. Отже, ∠AOB – кут між відрізком BD і площиною alpha.
За означенням синуса прямокутного трикутника знайдемо ∠AOB, де AB=3 м – протилежний катет до ∠AOB:
Відповідь: 30 – А.
Задача 7
Установити відповідність між відрізками (1–4), побудованими на гранях і ребрах куба, та величинами кутів між ними (А–Д).

Розв'язання: 1) Оскільки прямі AD і BC лежать в одній площині (ABC1) і не перетинаються, то задані прямі паралельні, тому кут між ними – 00;
1 – Б;
2) Кутом між (мимобіжними) прямими в просторі називають кут між прямими, які перетинаються і паралельні до мимобіжних прямих. Паралельною проекцією прямої BA1 є пряма CD1 (оскільки ABCDA1B1C1D1 – куб, тому його протилежні грані рівні і паралельні).
Звідси, ∠AD1C – кут між прямими BA1 і AD1.
Розглянемо трикутник AD1C. Його сторонами є діагоналі граней куба ABCDA1B1C1D1. У куба всі грані і ребра рівні, тому і діагоналі на його гранях є рівними (за властивістю).
Звідси, випливає, що трикутник AD1C – рівносторонній (у якого всі кути рівні). Тому, за теоремою про суму кутів трикутника
2 – А.
3) Прямі AB і AD1 знаходяться на сусідніх гранях куба, які є перпендикулярними за властивістю куба. Пряма, яка перпендикулярна до площини, перпендикулярна до кожної прямої, що знаходиться в цій площині. В даному випадку пряма AB перпендикулярна до площиниADD, тому AB⊥AD1.
Звідси ∠BAD1=90.
3 – Г.
4) Паралельною проекцією прямої DC1 є пряма AB1.
Звідси, ∠BAB1 – кут між прямими DC1 і AB1.
Розглянемо трикутник BAB1. Його сторонами є ребра BB1 і AB куба ABCDA1B1C1D1. У куба всі грані і ребра рівні, сусідні грані і ребра перпендикулярні, тому ΔBAB1 – прямокутний рівнобедрений (за властивістю), гострі кути якого рівні.
За теоремою про суму кутів трикутника 
4 – В.
Задача 8
З точки B, яка розміщена від площини на відстані 1, проведено дві похилі, які утворюють із площиною кути 450, а між собою – кут 600. Знайти квадрат відстані між кінцями похилих.
Розв'язання: За умовою задачі маємо площину alpha, точку B, яка не лежить в площині alpha. З точки B опустимо перпендикуляр BL=1 – відстань від точки B до площини alpha (точка L належить площині alpha), тобто BL⊥alpha, тоді BK і BM – похилі, які проведені з точкиB до площини alpha, де точки K і M належать площині alpha.
Відрізки KL і ML – проекції похилих BK і BM, відповідно, що належать площині alpha. Оскільки BL⊥alpha, то BL⊥KL і BL⊥ML (пряма, яка перпендикулярна площині, перпендикулярна до кожної прямої, що належать цій площині). Звідси слідує, що ∠BKL=45 і ∠BML=45 – кути між похилими BK, BM, відповідно, і площиною alpha;
∠KBM=60 – кут між похилими BK і BM.
Розглянемо трикутники BKL і BML. Оскільки BL⊥KL і BL⊥ML, то ΔBKL і ΔBML – прямокутні (∠BLK=90 і ∠BLM=90) з відповідно гострими кутами ∠BKL=45, ∠BML=45 і спільним катетом BL=1.
За теоремою про суму кутів трикутника, маємо ∠KBL=45 і ∠MBL=45. Звідси слідує, що ΔBKL і ΔBML – рівнобедрені з основами BK і BM відповідно (кути при основі рівні), тому KL=1 і ML=1 (бічні сторони рівні).
За теоремою Піфагора знайдемо гіпотенузи ΔBKL і ΔBML:
Розглянемо трикутник BKM, у якого ∠KBM=60, BK=√2, BM=√2. Оскільки BK=BM, то ΔBKM – рівнобедрений з основою KM.
За властивістю кути при основі рівні, тому, за теоремою про суму кутів трикутника, маємо 
Отримали, ∠KBM=∠BKM=∠BMK=60, звідси (за властивістю) слідує, що ΔBKM – рівносторонній, тому всі його сторони рівні.
Отже, 
Тобто MK2=2 – квадрат відстані між кінцями K і M похилих BK і BM.
Відповідь: 2.