Рівняння з модулем

Рівняння з модулями. Приклади

"Розв'язати рівняння з модулями" або "Знайти усі розв'язки рівняння з модулями" – одні з найпопулярніших завдань в шкільному курсі математики, та на першому курсі у ВУЗах при вивченні модулів. Завдання легко зводяться до звичайних рівнянь при знанні правил, а вони досить прості. При розкритті модуля потрібно знайти точки в яких підмодульна функція приймає нульове значення. Дійсну вісь розбити знайденими точками на інтервали та встановити знаки функції на кожному з них. Дальше розкривають модулі за правилом:

Якщо підмодульна функція додатна, то модулі розкривають без змін. Якщо від'ємна, то розкриваючи модуль функцію беруть зі знаком мінус.

Все це напряму випливає з означення модуля числа:
модуль числа

Після обчислень перевіряють, чи належить розв'язок розглядуваному інтервалі чи ні. В такий спосіб відсівають зайві результати.

Приклад 1. Знайти розв'язок рівняння 
рівняння з модулями, приклад

Розв'язання: Задане завдання є найпростішим типом рівнянь з модулями. В першу чергу рівняння містить модуль один раз та змінна входить лінійно.

Знаходимо точку, в якій вираз під знаком модуля перетворюється в нуль

Справа від цієї точки вираз під модулем приймає додатне значення, зліва – від'ємне.

Розкриваючи модуль, отримаємо два рівняння з умовами на невідому
розкриття модулів

Знаходимо розв'язки 
розвязки рівняння з модулями 
розвязки рівняння з модулями

Такого типу рівняння з модулем можна розв'язати графічним методом. В результаті отримаємо наступний вигляд функцій

рівняння з модулем

 

Приклад 2. Знайти корені рівняння 
рівняння з модулями, приклад

Розв'язання: Розв'язуємо за схемою попереднього прикладу.
Знаходимо точки в яких модулі перетворюються в нуль.


Обидві точки розділяють дійсну вісь на інтервали.

Позначаємо знаки підмодульних функцій на знайдених інтервалах. Знаки встановлюємо простою підстановкою точок з інтервалу 



Для зручності можете позначати інтервали графічно, декому це дуже допомагає, однак можна обійтися лише наведеними вище записами.
Розкриваємо модулі, враховуючи знаки та знаходимо розв'язки.
розкриття модулів
розкриття модулів 
розкриття модулів
Останній розв'язок не має змісту, оскільки не належить проміжку на якому його знаходимо. Таким чином рівняння задовільняють значення 
розвязки рівняння з модулямирозвязки рівняння з модулями 
Графік модуль-функцій наведено нижче, точки їх перетину і є розв'язком.

рівняння з модулем

 

 

Остання зміна: середа 11 жовтень 2017 00:01