Тема. Корінь n-го степеня. Арифметичний корінь n-го степеня і його властивості
Мета уроку. Повторити відомості про квадратний корінь. Формування понять корінь n-го степеня і арифметичний корінь n-го степеня. Вивчення властивостей коренів n-го степеня.
Повторення відомостей про квадратний корінь за допомогою таблиці 1.
Питання
1. Що називається квадратним коренем з числа?
2. Чому дорівнює квадратний корінь з чисел: а) 25; б)16; в) 100; г) 0; д) -10?
3. Чому квадратний корінь з від'ємного числа не існує?
4. Що називається арифметичним квадратним коренем з числа а?
5. При яких значеннях а має смисл вираз
?
Таблиця 1.
|
Квадратні корені |
|
|
Означення квадратного кореня з числа а: |
Означення арифметичного квадратного кореня з числа а: |
|
число, квадрат якого дорівнює а. |
|
|
Корінь рівняння: х2 = а.
|
Тотожності
Основні властивості
|
Сприймання і усвідомлення нового матеріалу (таблиця 2)
Коренем n-го степеня із дійсного числа а називається число, n-й степінь якого дорівнює а.
Наприклад: корінь третього степеня із числа 8 дорівнює 2, бо 23 = 8. Корінь четвертого степеня з числа 81 є числа 3 і -3, бо 34 = 81, (-3)4 = 81.
Згідно даного означення, корінь п-го степеня — це корінь рівняння хn = а. Число коренів цього рівняння залежить від n і а.
Якщо n — парне, тобто n = 2k, k
N, то рівняння х2k = а має два корені, якщо а > 0; один корінь, якщо а = 0; не має коренів, якщо а < 0.
Якщо n — непарне, тобто n = 2k + 1, k
N, то рівняння х2k+1 = а завжди має лише один корінь.
Таблиця 2
|
Корінь n-гo степеня |
|
|
Означення кореня n-го степеня з числа а: число, n -й степінь якого дорівнює а. Корінь рівняння: х2 = а |
Означення арифметичного кореня n-го степеня з числа а:
|
|
|
Якщо а < 0, то
ТотожностіЯкщо
Основні властивості
|
|
|
|
Невід'ємний корінь рівняння хn = а називають арифметичним коренем n-го степеня із числа а.
Арифметичним коренем n-го степеня із невід'ємного числа а називається таке невід'ємне число, n-й степінь якого дорівнює а.
Арифметичний корінь п-го степеня із числа а позначають так:
. Число n називають показником кореня, число а — підкореневим числом (виразом).
Якщо n = 2, то замість
пишуть
і називають арифметичним квадратним коренем.
Арифметичний корінь третього степеня називають кубічним коренем.
У тих випадках, коли зрозуміло, що мова йде про арифметичний корінь n-го степеня, коротко говорять «корінь n-го степеня».
Приклад. Знайдемо значення: а)
; б)
; в)
; г)
.
а)
= 2, оскільки 23 = 8 і 2 > 0;
б)
= 3, оскільки 34= 81 і 3 > 0;
в)
= 1, оскільки 15 = 1 і 1 > 0;
г)
= 0, оскільки 0100 = 0.
Корінь парного степеня існує лише з невід'ємних чисел, отже, вираз
має смисл, якщо
і набуває невід'ємних значень.
Корінь непарного степеня існує з будь-якого дійсного числа і до того ж тільки один.
Для коренів непарного степеня справедлива рівність
= –
.
Дійсно
.
Рівність
= –
дозволяє виразити корінь непарного степеня з від'ємного числа через арифметичний корінь того ж степеня.
Приклад. Знайдемо значення: а)
; б)
; в)
.
a)
= -
= -2; б)
= -
= -2 ; в)
= -
= -3 .
Отже, вираз
має смисл для будь-якого а
R і може набувати будь-яких значень.
Виконання вправ
1. Вправа № 7 до розділу III.
2. Розв'яжіть рівняння:
а) х3 = 64; б) х5 = -
; в) х4 = 81; г) х6 = - 64; д) х3 = 15; е) х4 = 15.
Відповідь: а) 4; б) -
; в) 3; - 3; г) немає коренів; д)
; е)
; -
.
3. Знайдіть область визначення функцій:
а) у =
; б) у =
; в) у =
; г) у =
; д) у =
+
; е) у =
.
Відповідь: а) х
2; б) х
R; в) х
3; г) х ≠ 0; д) 0; е) не визначена.
Безпосередньо з означення арифметичного кореня n-го степеня випливає:
|
1. Якщо 2. 3. |
Ми згадали властивості квадратного кореня. Аналогічні властивості мають і корені n-го степеня.
Властивість 1. Для невід'ємних чисел а і b добуток коренів n-го степеня із чисел a і b дорівнює кореню n-го степеня із їх добутку:
·
=
.
Властивість 2. Для невід'ємного числа а і додатного числа b частка коренів n-го степеня із чисел а і b. дорівнює кореню n-го степеня із їх частки:
.
Властивість 3. Будь-який цілий степінь k кореня n-го степеня із невід'ємного числа а дорівнює кореню n-го степеня із степеня k числа а:
.
Властивість 4. Щоб добути корінь із кореня із невід'ємного числа можна перемножити показники коренів, а підкореневий вираз залишити без змін:
.
Властивість 5. Значення кореня із степеня невід'ємного числа не зміниться, якщо показник кореня і показник підкореневого виразу помножити (або поділити) на одне і те саме натуральне число:
.
Властивості 1, 2 доводяться аналогічно тому, як це зроблено для квадратних коренів. Доведемо властивості 3—5:
3) Так як а
0, то ліва і права частини формули невід'ємні. Тому для доведення цієї рівності досить впевнитися в тому, що n-ий степінь лівої частини дорівнює аk. Згідно з властивостями степенів з цілим показником маємо: 
4) При а > О ліва і права частини невід'ємні. Тоді
. Отже,
.
5) Згідно з означенням кореня
— це таке невід'ємне число, n-й степінь якого дорівнює аmp, тобто досить довести
.
Маємо
.
Виконання вправ
1. Знайдіть значення виразів:
а)
; б)
; в)
; г)
; д)
.
Відповідь: а) 1,5; б) 1,2; в) 0,5; г) 2,5; д)
.
2. Обчисліть:
а)
·
; б)
·
; в)
; г)
.
Відповідь: а) 10; б) 6; в) 3; г) 2.
3. Знайдіть корінь із степеня:
а)
; б)
; в)
; г)
.
Відповідь: а) 125; б) 0,09; в) 0,72; г) 16.
4. Спростіть вирази:
а)
; б)
; в)
; г)
.
Відповідь: а)
=
; б)
; в)
; г)
.









,
, 
