Приклади розвязання тригонометричних рівнянь

Рівняння називається тригонометричним, якщо невідома величина знаходиться під знаком тригонометричних функцій. 

Найпростішими тригонометричними рівняннями називаються рівняння        ,     .

Розв’язати найпростіше тригонометричне рівняння – означає знайти множину всіх кутів, що мають дане значення тригонометричної функції. Якщо тригонометричне рівняння не є найпростішим, то за допомогою тотожних перетворень його треба звести до одного або кількох найпростіших, розв’язання яких визначається стандартними формулами.

 (оскільки ). Корені рівняння  можна розглядати як абсциси точок перетину синусоїди  з прямою .

Всі розв’язки рівняння  записуються у вигляді . Однак в трьох таких випадках, коли  , розв’язки рівнянь зображуються такими формулами:

при  ;

при  ;

при  .

Рівняння . Оскільки , то рівняння має розв’язок тільки при . Корені рівняння  можна розглядати як абсциси точок перетину косинусоїди  з прямою .

Всі розв’язки рівняння  записуються у вигляді .

Для окремих випадків  маємо:

а)   ;

б)   ;

в)   .

Всі корені рівняння  задаються формулою .

У випадку  розв’язок записується у вигляді .

Всі корені рівняння  визначаються співвідношенням ,. При розв’язок має вигляд .

При використанні формул для розв’язування тригонометричних рівнянь враховують, що

;               ;

;               .

Розглянемо на прикладах найпростіші тригонометричні рівняння.

Приклад 1.

 Розв’язати рівняння .

Розв’язання

Оскільки , то скористаємось формулою .

Отже,  

 .

Відповідь: .

Приклад 2.

 Розв’язати рівняння .

Розв’язання

 (), отже, рівняння розв’язків не має.

Відповідь: .

Приклад 3.

 Розв’язати рівняння .

Розв’язання

 

  

 .

Відповідь: .

Приклад 4

Розв’язання

 

  

  

  

    

 

Відповідь:  .

Приклад 5. 

Розв’язати рівняння .

Розв’язання

Запишемо дане рівняння у вигляді , тоді скористаємось формулою , тобто  

  

  

 .

Відповідь: .

Приклад 6.

 Розв’язати рівняння  сtg 3x=2009.

Розв’язання

   

  .

Відповідь: .

Приклад 7. Розв’язати рівняння .

Розв’язання

 \

  

Відповідь: .

Зауваження. 

При розв’язуванні тригонометричних рівнянь з однаковим успіхом можна користуватися і радіанною, і градусною мірами. Так, наприклад, відповідь у прикладі № 5, яка записана за допомогою радіанної міри , можна записати, використовуючи градусну міру, так:    . При цьому слід знати, що можна використовувати або тільки радіанну, або тільки градусну міру, тобто не можна використовувати в тому самому розв’язку частково радіанну і частково градусну міру.

Приклад 8. Вказати найменший додатний розв’язок рівняння (у градусах): .

Розв’язання

Дане рівняння є дробово-раціональним, тому його можна записати у вигляді системи:     

 . Звідси     , тобто підходить лише . Таким чином,  .

Найменший додатний розв’язок рівняння при  буде  або .

Відповідь: .

Зведення тригонометричних рівнянь до алгебрагічних

     Деякі тригонометричні рівняння можна привести шляхом тотожних перетворень до рівнянь з однією тригонометричною функцією, потім зробити заміну і привести рівняння до алгебрагічного.

     Розглянемо приклади.

     Приклад 1.

Розв’яжіть рівняння {\sin ^2}x + 4\cos x = 2,75.

Розв’язування

     Замінивши {\sin ^2}x на 1 - {\cos ^2}x, маємо:

1 - {\cos ^2}x + 4\cos x - 2,75 = 0,

 - {\cos ^2}x + 4\cos x - 1,75 = 0;

{\cos ^2}x - 4\cos x + 1,75 = 0.

     Нехай cos x=t, тоді {t^2} - 4t + 1,75 = 0. Звідси {t_1} = \frac{1}{2},{t_2} = \frac{7}{2} > 1.

     Оскільки {t_2} > 1, то \cos x = \frac{7}{2} - розв’язків немає.

     Оскільки {t_1} = \frac{1}{2}, то \cos x = \frac{1}{2},x = \pm \frac{\pi }{3} + 2\pi n,n \in Z.

     Відповідь \pm \frac{\pi }{3} + 2\pi n,n \in Z.

     Приклад 2.

Розв’яжіть рівняння tg x+3ctg x=4.

Розв’язання

tg\,x + 3ctg\,x = 4;\quad tg\,x + \frac{3}{{tg\,x}} = 4.

     Нехай tg x=t, тоді t + \frac{3}{t} = 4,\;{t^2} - 4t + 3 = 0,\;{t_1} = 1,\;{t_2} = 3.

     Маємо:

1)               tg\,x = 1,\;x = \frac{\pi }{4} + \pi n,n \in Z;

2)               tg\,x = 3,\;x = arctg3 + \pi n,n \in Z .

     Відповідь\frac{\pi }{4} + \pi n,arctg3 + \pi n,n \in Z.

Зведення тригонометричних рівнянь до рівнянь виду f(x)g(x)=0

     Багато тригонометричних рівнянь, права частина яких дорівнює 0, розв’язуються розкладанням їхньої лівої частини на множники.

     Розглянемо приклади.

     Приклад 3.

Розв’яжіть рівняння 1 + \cos x - 2\cos \frac{x}{2} = 0.

Розв’язання

     Урахувавши, що 1 + \cos x = 2{\cos ^2}\frac{x}{2}, маємо

2{\cos ^2}\frac{x}{2} - 2\cos \frac{x}{2} = 0;\;2\cos \frac{x}{2}(\cos \frac{x}{2} - 1) = 0.

     Добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один з множників дорівнює нулю. Тому:

1)               \cos \frac{x}{2} = 0;\;\frac{x}{2} = \frac{\pi }{2} + \pi n,n \in Z;\;x = \pi + 2\pi n,n \in Z;

2)               \cos \frac{x}{2} = 1;\;\frac{x}{2} = 2\pi n,n \in Z;\;x = 4\pi n,n \in Z.

     Відповідь\pi + 2\pi n,4\pi n,n \in Z.

     Приклад 4.

Розв’яжіть рівняння sin 2x-sin x=0.

Розв’язання

\sin 2x - \sin x = 0;\;2\sin \frac{{2x - x}}{2}\cos \frac{{2x + x}}{2} = 0;\;2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{{3x}}{2} = 0.

1)               \sin \frac{x}{2} = 0;\;\frac{x}{2} = \pi n,n \in Z;\;x = 2\pi n,n \in Z;

2)               \cos \frac{{3x}}{2} = 0;\;\frac{{3x}}{2} = \frac{\pi }{2} + \pi n,n \in Z;\;x = \frac{\pi }{3} + \frac{{2\pi n}}{3},n \in Z.

     Відповідь: 2\pi n і \frac{\pi }{3} + \frac{{2\pi n}}{3},n \in Z .

 

.

 

Розвязання рівнянь                            

asin2x + вsin x + c = 0,   аcos2x + вsin x + c = 0

1.

2sin2x + sin х – 1 = 0.

t = sin х. 

 2t2 + t – 1 = 0, t=-1, t=0,5

1)  sin х = –1 (це часний випадок),

      х =-п/2+2пк, кєZ

2)  sin х = 0,5 

     х = (– 1)кarcsin (0,5) + πk, k є Z,

   х=(-1)к  п/6+пк, кєZ

Відповідь:  х = -п/2+2пк,  х = (– 1)k + 1   п/6+ πk,  Z.

2.

os x = 4 – sin2x,

os x = 4 – (1 – cos2x),

os x = 4 – 1 + cos2x,

cos2x – 4сos x  + 3 = 0.

cos x = t,  t2 – 4 t + 3 = 0.

 t1 = 1,  t2 = 3.

t = 1,  то cos x = 1,

                        х = 2πn,   Z. 

t = 3, то cos x = 3, рівняння розв'язків не має

                      

Відповідь:  х = 2πn,  n є Z. 

 №3

4sin2 х – sin 2x = 3.

Використовуємо формули sin 2x = 2 sin x cos x,  sin2 х + сos2 x = 1

4sin2 х –  2sin x cos x = 3(sin2 х + сos2 x),

4sin2 х – 2 sin x cos x – 3sin2 х – 3сos2 x = 0,

sin2 х  –  2sin x cos x – 3сos2 x = 0.  Розділемо обидві частини на сos2 x

tg2 х – 2tg х – 3 = 0.

Нехай tg х = t, тоді: t2 – 2 t – 3 = 0.

 t1 = – 1, t2 = 3.

Якщоt = – 1, то tg х = – 1,

                           х = arctg (– 1) + πn,  nє Z,

                           х = – п/4 + πn,  n є Z.

Якщоt = 3, то tg х = 3,

                       x = arctg 3 + πk,  kє Z.

Відповідь: х = –п/4 + πn,  n є Z,   x = arctg 3 + πk,  kє Z.

№4

2sin2 х = sin 2x.

Використуємо формулу  sin 2x = 2 sin x cos x.

2sin2 хsin x cos x = 0,

2sin x(sin x – cos x) = 0,

2sin x = 0              або                sin x – cos x = 0,

sin x = 0                                         tg х =1 ,

х = πn, n є Z                                x = arctg 1 + πk,  kє Z,

                                                       x = п/4  + πk,  kє Z.

відповідь: х = πn, n є Z,  x =п/4   + πk,  kє Z.

 

                                    

Рівняння, які розв'язуються за допомогою розкладання на множники

№1.

 tg2 x – 3 tg x = 0,

tg x(tg x – 3) = 0,

tg x = 0                    або      tg x – 3 = 0,

х = arctg 0 + πn,  n є Z         tg x = 3,

х = πn,  nє  Z                              tg x = 3

                                                    х = arctg 3 + πk,  k є Z,       

                                                   

Ответ:  х = πn,  n є Z,   х =  arсtg3+ πk,  k є Z.

2.

sin – сos x  = 0,

2 sin х × сos x – сos x  = 0,

сos x(2sin х – 1) = 0,

сos x = 0                          або            2sin х – 1 = 0, 

х = 2πn,  n є Z                                     2sin х = 1,

                                                               sin х =0,5 ,

                                                               х = (– 1)k  arcsin0,5+ πk,  kє Z.

Відповідь:х = 2πn,  n є Z,       х = (– 1)k   arcsin0,5  + πk,  k є Z.

3.

сos 3x + сos x = 4сos 2x,

os × сos  = 4сos 2x,

 сos 2x × сos x  – 2сos 2x = 0,

сos 2x(сos x  – 2) = 0,

сos 2x = 0          або      сos x – 2 = 0,

2х = 2πn,   Z               сos x = 2,

       х = πn,  n є Z                 розв'язків немає

Відповідь:       х = πn,  n є Z

 

 

Остання зміна: четвер 15 лютий 2018 10:49