Приклади розвязання тригонометричних рівнянь
Рівняння називається тригонометричним, якщо невідома величина знаходиться під знаком тригонометричних функцій.
Найпростішими тригонометричними рівняннями називаються рівняння
,
.
Розв’язати найпростіше тригонометричне рівняння – означає знайти множину всіх кутів, що мають дане значення
тригонометричної функції. Якщо тригонометричне рівняння не є найпростішим, то за допомогою тотожних перетворень його треба звести до одного або кількох найпростіших, розв’язання яких визначається стандартними формулами.
,
(оскільки
). Корені рівняння
можна розглядати як абсциси точок перетину синусоїди
з прямою
.
Всі розв’язки рівняння
записуються у вигляді
,
. Однак в трьох таких випадках, коли
, розв’язки рівнянь зображуються такими формулами:
при
,
;
при
,
;
при
,
.
Рівняння
. Оскільки
, то рівняння має розв’язок тільки при
. Корені рівняння
можна розглядати як абсциси точок перетину косинусоїди
з прямою
.
Всі розв’язки рівняння
записуються у вигляді
,
.
Для окремих випадків
,
маємо:
а)
,
;
б)
,
;
в)
,
.
Всі корені рівняння
,
задаються формулою
,
.
У випадку
розв’язок записується у вигляді
,
.
Всі корені рівняння
,
визначаються співвідношенням
,
. При
розв’язок має вигляд
,
.
При використанні формул для розв’язування тригонометричних рівнянь враховують, що
;
;
;
.
Розглянемо на прикладах найпростіші тригонометричні рівняння.
Приклад 1.
Розв’язати рівняння
.
Розв’язання
Оскільки
, то скористаємось формулою
,
.
Отже,
,
,
.
Відповідь:
.
Приклад 2.
Розв’язати рівняння
.
Розв’язання
(
), отже, рівняння розв’язків не має.
Відповідь:
.
Приклад 3.
Розв’язати рівняння
.
Розв’язання
,
,
.
Відповідь:
.
Приклад 4
Розв’язання
,
,
,
,
![]()

Відповідь:
.
Приклад 5.
Розв’язати рівняння
.
Розв’язання
Запишемо дане рівняння у вигляді
, тоді скористаємось формулою
,
, тобто
.
Відповідь:
.
Приклад 6.
Розв’язати рівняння сtg 3x=2009.
Розв’язання
.
Відповідь:
.
Приклад 7. Розв’язати рівняння
.
Розв’язання
\


Відповідь:
.
Зауваження.
При розв’язуванні тригонометричних рівнянь з однаковим успіхом можна користуватися і радіанною, і градусною мірами. Так, наприклад, відповідь у прикладі № 5, яка записана за допомогою радіанної міри
, можна записати, використовуючи градусну міру, так:
. При цьому слід знати, що можна використовувати або тільки радіанну, або тільки градусну міру, тобто не можна використовувати в тому самому розв’язку частково радіанну і частково градусну міру.
Приклад 8. Вказати найменший додатний розв’язок рівняння (у градусах):
.
Розв’язання
Дане рівняння є дробово-раціональним, тому його можна записати у вигляді системи:

. Звідси
, тобто підходить лише
. Таким чином,
.
Найменший додатний розв’язок рівняння при
буде
або
.
Відповідь:
.
Зведення тригонометричних рівнянь до алгебрагічних
Деякі тригонометричні рівняння можна привести шляхом тотожних перетворень до рівнянь з однією тригонометричною функцією, потім зробити заміну і привести рівняння до алгебрагічного.
Розглянемо приклади.
Приклад 1.
Розв’язування
Нехай cos x=t, тоді
. Звідси
.
Оскільки
, то
- розв’язків немає.
Приклад 2.
Розв’яжіть рівняння tg x+3ctg x=4.
Розв’язання
Маємо:
Зведення тригонометричних рівнянь до рівнянь виду f(x)g(x)=0
Багато тригонометричних рівнянь, права частина яких дорівнює 0, розв’язуються розкладанням їхньої лівої частини на множники.
Розглянемо приклади.
Приклад 3.
Розв’язання
Добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один з множників дорівнює нулю. Тому:
Приклад 4.
Розв’яжіть рівняння sin 2x-sin x=0.
Розв’язання
.
Розвязання рівнянь
asin2x + вsin x + c = 0, аcos2x + вsin x + c = 0
№1.
2sin2x + sin х – 1 = 0.
t = sin х.
2t2 + t – 1 = 0, t=-1, t=0,5
1) sin х = –1 (це часний випадок),
х =-п/2+2пк, кєZ
2) sin х = 0,5
х = (– 1)кarcsin (0,5) + πk, k є Z,
х=(-1)к п/6+пк, кєZ
Відповідь: х = -п/2+2пк, х = (– 1)k + 1 п/6+ πk, kє Z.
№2.
4сos x = 4 – sin2x,
4сos x = 4 – (1 – cos2x),
4сos x = 4 – 1 + cos2x,
cos2x – 4сos x + 3 = 0.
cos x = t, t2 – 4 t + 3 = 0.
t1 = 1, t2 = 3.
t = 1, то cos x = 1,
х = 2πn, nє Z.
t = 3, то cos x = 3, рівняння розв'язків не має
Відповідь: х = 2πn, n є Z.
№3
4sin2 х – sin 2x = 3.
Використовуємо формули sin 2x = 2 sin x cos x, sin2 х + сos2 x = 1.
4sin2 х – 2sin x cos x = 3(sin2 х + сos2 x),
4sin2 х – 2 sin x cos x – 3sin2 х – 3сos2 x = 0,
sin2 х – 2sin x cos x – 3сos2 x = 0. Розділемо обидві частини на сos2 x
tg2 х – 2tg х – 3 = 0.
Нехай tg х = t, тоді: t2 – 2 t – 3 = 0.
t1 = – 1, t2 = 3.
Якщоt = – 1, то tg х = – 1,
х = arctg (– 1) + πn, nє Z,
х = – п/4 + πn, n є Z.
Якщоt = 3, то tg х = 3,
x = arctg 3 + πk, kє Z.
Відповідь: х = –п/4 + πn, n є Z, x = arctg 3 + πk, kє Z.
№4
2sin2 х = sin 2x.
Використуємо формулу sin 2x = 2 sin x cos x.
2sin2 х – sin x cos x = 0,
2sin x(sin x – cos x) = 0,
2sin x = 0 або sin x – cos x = 0,
sin x = 0 tg х =1 ,
х = πn, n є Z x = arctg 1 + πk, kє Z,
x = п/4 + πk, kє Z.
відповідь: х = πn, n є Z, x =п/4 + πk, kє Z.
Рівняння, які розв'язуються за допомогою розкладання на множники
№1.
tg2 x – 3 tg x = 0,
tg x(tg x – 3) = 0,
tg x = 0 або tg x – 3 = 0,
х = arctg 0 + πn, n є Z tg x = 3,
х = πn, nє Z tg x = 3
х = arctg 3 + πk, k є Z,
Ответ: х = πn, n є Z, х = arсtg3+ πk, k є Z.
№2.
sin 2х – сos x = 0,
2 sin х × сos x – сos x = 0,
сos x(2sin х – 1) = 0,
сos x = 0 або 2sin х – 1 = 0,
х = 2πn, n є Z 2sin х = 1,
sin х =0,5 ,
х = (– 1)k arcsin0,5+ πk, kє Z.
Відповідь:х = 2πn, n є Z, х = (– 1)k arcsin0,5 + πk, k є Z.
№3.
сos 3x + сos x = 4сos 2x,
2сos × сos = 4сos 2x,
сos 2x × сos x – 2сos 2x = 0,
сos 2x(сos x – 2) = 0,
сos 2x = 0 або сos x – 2 = 0,
2х = 2πn, nє Z сos x = 2,
х = πn, n є Z розв'язків немає
Відповідь: х = πn, n є Z
























