1. Координати вектора. Дії над векторами, які задано координатами.

Координати вектора у просторі. Рівність векторів, заданих координатами. Модуль вектора.

 

Якщо у просторі ввести систему координат, то кожний вектор можна задати трійкою чисел - координатами вектора у просторі.

Координатами вектора  з початком А(х1; у1; z1) і кінцем В(х2; у2; z2) називають числа

х = х2 – х1; у = у2 – у1; z = z2 – z1.

Нагадаємо, що записують вектор , вказуючи його координати наступним чином  (х;у;z). Наприклад,  тощо.

Приклад 1. Знайти координати вектора , якщо А(-5; 2; -3), B(7; -1; 0).

Розв’язання.  (7 - (-5);-1 - 2;0 - (-3)) ,отже  (12;-3;3).

Координати вектора можуть бути будь-які дійсні числа. Всі координати нульового вектора дорівнюють нулю (0;0;0).

Як і на площині,

рівні вектори мають відповідно рівні координати, і навпаки: якщо у векторів відповідно рівні координати, то вектори рівні.

Приклад 2. Дано точки А(-1;3;4), В(0;5;-1), С(х;2;z), D(1;у;-2). Знайти х, у, z, якщо  = .

Розв’язання.

3) Оскільки  = , то маємо 1 - х = 1; у - 2 = 2; -2 - z = -5.

Отже, маємо х = 0; у = 4; z = 3.

Модуль вектора (х;у;z) дорівнює 

Приклад 3. Знайти модуль вектора: 

Розв’язання.

Приклад 4. Відомо, що модуль вектора (-4;у;) дорівнює 5. Знайти y.

Розв’язання. 

За умовою